Tests d’adéquation et d’homogénéité

Plan

  • Distributions multinomiales
  • Adéquation
    • Test du chi-deux d’adéquation
    • Histogrammes
    • Test du chi-deux pour comparer des distributions
    • Utilisation des fonctions de répartition et test KS

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Distribution Multinomiale

Distribution binomiale

Tirer \(n\) boules, bleues ou rouges, avec remise

\(p_1, (1-p_1)\) : proportion de bleues/rouges [Wooclap]

\(X\), \(Y\) : nombres de boules bleues/rouges

Alors :

\(X \sim \mathrm{Bin}(n,p_1)\), \(Y=n-X \sim \mathrm{Bin}(n,1-p_1)\)

Si \(k_1 +k_2 = n\) :

\(\mathbb P((X,Y) = (k_1,k_2)) = \binom{n}{k_1}p_1^k(1-p_1)^{k_2}\)

Distribution multinomiale

Tirer \(n\) boules, \(m\) couleurs possibles, avec remise

\((p_1, \dots, p_m)\) : proportions de chaque couleur : \(\sum_{i=1}^m p_i = 1\)

\(X_1, \dots, X_m\) : effectifs de chaque couleur [Wooclap]

Alors :

\((X_1, \dots, X_m) \sim \mathrm{Mult}(n,(p_1, \dots, p_m))\)

Formule

Si \(k_1 + \dots + k_m = n\) et \(\dfrac{n!}{k_1!\dots k_m!} = \binom{n}{k_1,\dots, k_m}\) est un coefficient multinomial :

\(\mathbb P((X_1, \dots, X_m)=(k_1, \dots, k_m)) = \dfrac{n!}{k_1!\dots k_m!}p_1^{k_1} \dots p_m^{k_m}\)

Preuve de la formule

Étape 1 : probabilité d’une séquence ordonnée avec effectifs \((k_1, \dots, k_m)\)

\[\underbrace{1, \dots, 1}_{k_1}, \underbrace{2, \dots, 2}_{k_2}, \dots, \underbrace{m, \dots, m}_{k_m} \quad \longrightarrow \quad p_1^{k_1} \cdots p_m^{k_m}\]

Étape 2 : nombre de telles séquences

Permutations de \(n\) objets avec \(k_i\) identiques de type \(i\) :

\[\frac{n!}{k_1! \dots k_m!}\]

Exemple

Lancer un dé \(n\) fois. Cela suit une loi \(Mult(n, (1/6, \cdots, 1/6))\)

Demander à \(n\) personnes leur couleur préférée parmi \(k\) options : \(\text{Mult}(n, (p_1, \ldots, p_k))\).

Générer \(n\) mots depuis un vocabulaire de taille \(V\) : \(\text{Mult}(n, (p_1, \ldots, p_V))\).

Exercice

Soit \((X_1, \dots, X_m) \sim \mathrm{Mult}(3,(1/4, 1/2, 1/4))\).

Quelle est la probabilité d’observer \((2, 1, 0)\) ?

\(\mathbb P((X_1,X_2,X_3)=(2,1,0)) = \frac{3!}{2!\,1!\,0!}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{4}\right)^0 \\= 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{32}\)

Test d’adéquation du \(\chi^2\)

Problème d’adéquation du \(\chi^2\)

On observe \((X_1, \dots, X_m) \sim \mathrm{Mult}(n, q)\).

Cela correspond à \(n\) tirages : \(X_1 + \dots + X_m = n\)

\(q = (q_1, \dots, q_m)\) correspond aux probabilités d’obtenir la couleur \(1, \dots, m\)

Soit \(p = (p_1, \dots, p_m)\) un vecteur connu tel que \(p_1 + \dots + p_m = 1\).

\(H_0:~ q = p ~~~\text{ou}~~~ H_1: q \neq p \; .\)

Test d’adéquation du \(\chi^2\)

Statistique du test du chi-deux :

\[\psi(X) = \sum_{i=1}^m\frac{(X_i-n_i)^2}{n_i} \; .\]

où \(n_i = np_i = \mathbb E[X_i]\) est l’effectif théorique attendu pour la couleur \(i\). Parfois écrit:

\(\psi(X) = \sum_{i=1}^m\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \; ,\)

où \(O_i\) désigne l’effectif « observé » et \(E_i\) l’effectif « attendu »

Propriété

Approximation chi-deux

Lorsque les \(np_i\) sont grands, sous \(H_0\) : \[\psi(X) \xrightarrow{d} \chi^2(m-1)\]

Preuve

\(X \sim \text{Mult}(n, p)\) s’écrit \(X= \sum_{i=1}^n \xi_i\) où les \(\xi \in \mathbb \{0,1\}^k\) sont iid d’espérance \(p\) de matrice de covariance \(\Sigma\)

\[\Sigma_{ij} = \text{Cov}(\xi_{1i}, \xi_{1j}) = \begin{cases} p_i(1-p_i) & i = j \\ -p_ip_j & i \neq j \end{cases}\]

Par le TCL multivarié : \[\frac{X - np}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \Sigma)\]

Posons \(Z = \text{diag}(p)^{-1/2}(X - np)/\sqrt{n}\), de sorte que \(\psi(X) = \|Z\|^2\). Par le théorème de la fonction continue :

\[Z \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,\, P), \quad P = I - \sqrt{p}\sqrt{p}^\top\]

En effet, la covariance de \(Z\) est \(\text{diag}(p)^{-1/2}\,\Sigma\,\text{diag}(p)^{-1/2}\), dont le coefficient \((i,j)\) vaut \[\frac{\Sigma_{ij}}{\sqrt{p_i}\sqrt{p_j}} = \frac{p_i\,\delta_{ij} - p_i p_j}{\sqrt{p_i}\sqrt{p_j}} = \delta_{ij} - \sqrt{p_i}\sqrt{p_j},\] ce qui est exactement le coefficient \((i,j)\) de \(I - \sqrt{p}\sqrt{p}^\top\).

Comme \(P\) est une projection orthogonale de rang \(m-1\), \(\mathcal{N}(0, P) \stackrel{d}{=} PG\) avec \(G \sim \mathcal{N}(0, I)\), donc : \[\psi(X) = \|Z\|^2 \xrightarrow{d} \|PG\|^2 \sim \chi^2(m-1)\]

Test et région de rejet

On rejette \(H_0\) si \(\psi(X) > t_{1-\alpha}\), le quantile d’ordre \((1-\alpha)\) du \(\chi^2(m-1)\).

On rejette pour les grandes valeurs de \(\psi\) (test unilatéral à droite).

Question : On observe une statistique \(\chi^2\) égale à \(32\) pour 1000 lancers d’un dé supposé équilibré. Est-ce normal ?

Si on observe une statistique \(\chi^2\) égale à \(0{,}001\), qu’est-ce que cela signifie ?

Exemple : Sachet de bonbons

  • On observe un sachet de bonbons contenant \(n=100\) bonbons de \(m=3\) couleurs différentes : rouge, vert et jaune.
  • Fabricant : \(p_1= 40\%\) rouge, \(p_2=35\%\) vert et \(p_3=25\%\) jaune.
  • \(H_0 : q=p\) (les affirmations du fabricant sont correctes)
  • \(H_1 : q\neq p\) (les affirmations du fabricant sont incorrectes)
Couleur Effectifs observés
Rouge \(X_1=50\)
Vert \(X_2=30\)
Jaune \(X_3=20\)
Effectifs théoriques
\(n_1=40\)
\(n_2=35\)
\(n_3=25\)
  • \(\psi(X) = \sum_{i=1}^m\frac{(X_i-n_i)^2}{n_i} \approx 2{,}5 +0{,}71+1 \approx 4{,}21\)
  • \(\mathrm{cdf}(\chi^2(2), 4{,}21) \approx 0{,}878\) (\(p_{\text{valeur}} \approx 0{,}222\))
  • Conclusion : on ne rejette pas \(H_0\)

Comparaison à une distribution théorique

Représentation par des indicatrices

On tire indépendamment et avec remise parmi \(m\) catégories \((c_1, \dots, c_m)\). La probabilité d’obtenir la catégorie \(c_k\) est \(p_k\).

Soit \(Z_i\) la catégorie du \(i^{\text{ème}}\) tirage

Alors, si \(X_k= \sum_{i=1}^n \mathbf{1}\{Z_i = c_k\}\)

\((X_1, \dots, X_m) \sim Mult(n, (p_1, \dots, p_m))\)

Histogrammes avec cette représentation

On observe \((Z_1, \dots, Z_n) \in \mathbb R^n\)

On fixe des intervalles \((I_1, \dots, I_m)\) formant une partition de \(\mathbb R\)

Histogramme

\(\mathrm{effectifs}(I) = \sum_{i=1}^n \mathbf 1\{Z_i \in I\} \in \{1, \dots, n\}\;\)

\(\mathrm{freq}(I) = \mathrm{effectifs}(I)/n\)

\(\mathrm{hist}(a,b,k) = (\mathrm{effectifs}(I_1), \dots,\mathrm{effectifs}(I_m))\)

Histogramme en pratique

On utilise généralement des histogrammes équilibrés sur \([a,b)\) :

\(I_l = \big[a + (l-1)\tfrac{b-a}{m},a + l\tfrac{b-a}{m}\big)\)

On peut ajouter \((-\infty, a)\) et \([b, +\infty)\) pour obtenir une partition de \(\mathbb R\)

Normalisation

Peut être normalisé en effectifs (par défaut), fréquences, ou densité (aire sous la courbe = 1)

On peut définir de même formellement les histogrammes lorsque \(X_i \in \mathbb R^p\) (même s’il n’existe pas de représentation aussi simple).

Illustration

Loi des grands nombres, Monte Carlo (informel)

Supposons que \((X_1, \dots, X_n)\) sont iid de distribution \(P\), et que \(a\), \(b\), \(m\) sont fixés

L’histogramme \(\mathrm{hist}(a,b,m)\) converge vers l’histogramme de la densité \(P\)

Convergence de l’histogramme

Soient \(I_j = \bigl[a + (j-1)\tfrac{b-a}{k},\ a + j\tfrac{b-a}{m}\bigr)\) pour \(j=1,\dots,m\) les classes. La hauteur de la \(j\)-ème barre est

\[\hat{h}_j = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{X_i \in I_j}.\]

Comme les \(X_i\) sont iid, les indicatrices \(\mathbf{1}_{X_i \in I_j}\) sont des variables de Bernoulli iid d’espérance \(P(I_j)\). Par la loi forte des grands nombres,

\[\hat{h}_j \xrightarrow{p.s.} P(I_j) \quad \text{quand } n\to\infty.\]

Test d’adéquation du \(\chi^2\) à une distribution donnée

On observe \((X_1, \dots, X_n) \in \mathbb R^n\), iid de distribution inconnue \(P\).

On veut tester si \(P\) est égale à une distribution connue \(P_0\)

\(H_0\) : \(P = P_0\) contre \(H_1\) : \(P \neq P_0\)

[Wooclap]

Idée : partitionner \(\mathbb R\) et comparer les histogrammes empiriques et théoriques.

Si \((I_1, \dots, I_m)\) sont des intervalles disjoints,

on note \(p_1 = P_0(I_1), \dots, p_{m} = P_0(I_m)\) les probabilités théoriques

Important

Celles-ci sont connues car \(P_0\) est connue et les \(I_j\) sont fixés par nous-mêmes !

On note \(C_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}\{X_{i} \in I_j\}\).

\(C_j\) est le nombre empirique de fois où l’on obtient des observations dans \(I_j\).

Par définition, sous \(P_0\), les \(C_j\) suivent une loi multinomiale \(\mathrm{Mult}(n, (p_1, \dots, p_{m}))\)

On veut comparer \(C_j\) (empirique) à \(np_j\) (théorique)

Statistique du test du chi-deux

On observe \(X=(X_1, \dots, X_n) \in \mathbb R^n\), et on définit \(C_j := C_j(X) = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}(X_i \in I_j)\)

Statistique du chi-deux :

\(\psi(X)=\sum_{j=1}^m \frac{(C_j - np_j)^2}{np_j}\)

Si les \(np_j\) sont suffisamment grands pour tout \(j\) (disons \(np_j \geq 15\)) alors \(\psi(X) \asymp \chi^2(m-1)\)

Région de rejet : \([t_{1-\alpha}, +\infty)\) où \(t_{1-\alpha}\) est le quantile d’ordre \((1-\alpha)\) du \(\chi^2(m-1)\)

C’est un test asymptotique

Test du \(\chi^2\) corrigé

Si \(P_0\) est inconnue, appartenant à une famille paramétrique \(\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^\ell\}\)

Estimer \(\theta\) par le MLE \(\hat\theta\) à partir des données \(X_1,\dots,X_n\)

Remplacer les probabilités théoriques par \(\hat p_j = P_{\hat\theta}(I_j)\)

Calculer la statistique corrigée :

\[\psi(X) = \sum_{j=1}^m \frac{(C_j - n\hat{p}_j)^2}{n\hat{p}_j}\]

Distribution du \(\chi^2\) corrigé

Sous \(H_0\), chaque paramètre estimé coûte un degré de liberté :

\(\psi(X) \asymp \chi^2(m - 1 - \ell)\)

Intuition : l’estimation de \(\ell\) paramètres à partir des données impose \(\ell\) contraintes supplémentaires sur les effectifs \(C_j\),

réduisant les degrés de liberté effectifs de \(m-1\) à \(m-1-\ell\).

Exemple : adéquation à une loi de Poisson

\(H_0\) : \(X_i\) iid \(\mathcal P(2)\)

X = [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 0, 1, 1, 2, 3, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0]
\(0\) \(1\) \(2\) \(\geq 3\) Total
Effectifs observés 16 8 3 3 30
Effectifs théoriques 4,06 8,1 8,1 9,7

  • Pour obtenir \(9{,}7\), on calcule (1-cdf(Poisson(2),2))*30
  • statistique chi-deux \(\gtrsim \frac{(16-4)^2}{4} = 36\)
  • (1-cdf(Chisq(3),36)) est très petit : on rejette

Warning

  • Si \(H_0\) est \(X_i\) iid \(\mathcal P(\lambda)\) avec \(\lambda\) inconnu
  • \(\hat \lambda = 0{,}8\), \(\sum_{i=1}^4 \frac{(X_i - n_i)^2}{n_i} \approx 9{,}4\)
  • Pas \(\chi^2(3)\) mais \(\chi^2(2)\)
  • (1-cdf(Chisq(2),9.4)) \(\approx 0{,}009\). On rejette au niveau 1%

[Wooclap]

Exemple : adéquation à une loi gaussienne

On observe \(n=200\) tailles (en cm). On teste si elles suivent une loi \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\) avec \(\mu\) et \(\sigma^2\) inconnus (\(\ell = 2\) paramètres).

Données simulées sous \(H_0\) :

set.seed(42)
X <- rnorm(200, mean=170, sd=8)

Estimation par MLE :

\[\hat\mu = \bar X \approx 169{,}78, \qquad \hat\sigma \approx 7{,}80\]

Regroupement en classes

On choisit \(m=8\) classes équiprobables sous \(\mathcal N(\hat\mu, \hat\sigma^2)\) : chaque \(\hat p_j = 1/8\), donc \(n\hat p_j = 25 \geq 5\) pour tout \(j\) .

Bornes : \(\hat\mu + \hat\sigma\,\Phi^{-1}(j/8)\) pour \(j=1,\dots,7\).

m <- 8
breaks <- qnorm((0:m)/m, mean=mean(X), sd=sd(X))
breaks[1] <- -Inf; breaks[m+1] <- Inf
O <- as.vector(table(cut(X, breaks)))
Classe 1 2 3 4 5 6 7 8
Observé \(O_j\) 24 23 28 24 27 23 24 27
Attendu \(n\hat p_j\) 25 25 25 25 25 25 25 25

Calcul et conclusion

\[\psi(X) = \sum_{j=1}^{8} \frac{(O_j - 25)^2}{25} \approx 1{,}12\]

Degrés de liberté : \(m - 1 - \ell = 8 - 1 - 2 = 5\)

1 - pchisq(1.12, df = 5)  # p-valeur ≈ 0,95

Note

\(p_{\text{valeur}} \gg 0{,}05\) : on ne rejette pas \(H_0\). Les données sont compatibles avec une loi gaussienne (ce qui est attendu puisqu’elles ont été simulées sous \(H_0\)).

Comparaison avec les QQ-plots

On observe \((X_1, \dots, X_n) \in \mathbb R^n\) de fonction de répartition inconnue \(F\)

On veut tester si \(F= F_0\) :

\(H_0\) : \(F = F_0\) contre \(H_1\) : \(F \neq F_0\)

On note \(X_{(1)} \leq \dots \leq X_{(n)}\) les données ordonnées

quantile empirique d’ordre \(\frac{k}{n}\) : \(X_{(k)}\) [Wooclap]

quantile d’ordre \(\frac{k}{n}\) : \(x\) tel que \(F_0(x) = \frac{k}{n}\)

Idée : sous \(H_0\), \(X_{(k)}\) devrait être approximativement égal au quantile d’ordre \(k/n\) de \(F_0\)

QQ-plot

  • Représenter les quantiles empiriques en fonction des quantiles théoriques.
  • Comparer le nuage de points à la droite \(y=x\)

Test de Kolmogorov-Smirnov

  • On observe \((X_1, \dots, X_n)\) de fonction de répartition inconnue \(F\)
  • \(H_0\) : \(F = F_0\) où \(F_0\) est connue
  • \(H_1\) : \(F \neq F_0\)
  • On note \(X_{(1)} \leq \dots \leq X_{(n)}\) les données ordonnées
  • quantile empirique d’ordre \(\frac{k}{n}\) :
  • quantile d’ordre \(\frac{k}{n}\) : \(x\) tel que \(F_0(x) = \frac{k}{n}\) [Wooclap]
  • Fonction de répartition empirique : \(\hat F(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf 1\{X_i \leq x\}\)
  • Idée : distance maximale entre la fonction de répartition empirique et la vraie

Test de Kolmogorov-Smirnov

  • \(\psi(X) = \sup_{x}|\hat F(x) - F_0(x)|\)
  • Approximation : \(\mathbb P_0(\psi(X) >c/\sqrt{n}) \to 2\sum_{r=1}^{+\infty}(-1)^{r-1}\exp(-2c^2r^2)\) quand \(n \to +\infty\)
  • En pratique, utiliser Julia, Python ou R pour les tests KS

Exemple : temps d’attente à un guichet

On observe \(n=50\) temps d’attente (en minutes). On se demande s’ils suivent une loi exponentielle de moyenne \(3\) minutes.

\(H_0 : F = F_{\mathcal E(1/3)}\) contre \(H_1 : F \neq F_{\mathcal E(1/3)}\)

Données simulées sous \(H_0\) :

set.seed(42)
X <- rexp(50, rate = 1/3)

Exemple : conclusion

Calcul du test via R :

ks.test(X, "pexp", rate = 1/3)
  • Statistique observée : \(\psi(X) \approx 0{,}084\)
  • \(p_{\text{valeur}} \approx 0{,}84\)

Note

\(p_{\text{valeur}} > 0{,}05\) : on ne rejette pas \(H_0\). Les données sont compatibles avec une loi exponentielle de moyenne \(3\).

Test de Shapiro-Wilk

Motivation

Beaucoup de tests classiques (Student, ANOVA, régression linéaire…) reposent sur l’hypothèse de normalité des données. Avant de les appliquer, il est naturel de vouloir la vérifier.

On a déjà vu plusieurs outils pour ça : \(\chi^2\) d’adéquation, Kolmogorov-Smirnov, QQ-plots. Le test de Shapiro-Wilk (1965) est le test dédié à la normalité, et c’est le plus puissant en pratique à petit échantillon.

Cadre

On observe \(n\) variables aléatoires \(X_1, \dots, X_n\) i.i.d. de loi \(P\) inconnue.

On suppose que \(P\) est une loi continue (pas de masses de Dirac).

On veut tester :

\(H_0: P = \mathcal N(\mu, \sigma^2)\) pour un certain \((\mu, \sigma^2)\) contre \(H_1: P \neq \mathcal N(\mu, \sigma^2)\) pour tout \((\mu, \sigma^2)\)

Warning

Les paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\) sont inconnus : on ne teste pas « les données suivent \(\mathcal N(170, 64)\) » mais « les données suivent une loi gaussienne, peu importe laquelle ».

Statistique de Shapiro-Wilk

Soient \(X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \dots \leq X_{(n)}\) les statistiques d’ordre (données triées).

\[W = \dfrac{\left(\sum_{i=1}^n a_i\,X_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2}\]

Les coefficients \(a_i\) sont tabulés : ils dépendent de \(n\) et proviennent de la covariance des statistiques d’ordre d’une gaussienne standard.

Note détaillée : construction, preuves et loi sous \(H_0\)

Warning

Pour \(\chi^2\) ou Kolmogorov-Smirnov, on disposait au moins d’une loi asymptotique explicite (\(\chi^2(k-1)\), loi de Kolmogorov). Pour \(W\), ni la loi exacte, ni la loi asymptotique ne sont connues sous forme close. Les p-valeurs s’obtiennent par :

  • des tables (Shapiro-Wilk, 1965) pour \(n \leq 50\)
  • une approximation gaussienne après transformation (Royston, 1992) pour \(n\) plus grand
  • ou par simulation Monte-Carlo directe

Intuition

Le numérateur \(\left(\sum_i a_i X_{(i)}\right)^2\) est une estimation de \(\sigma^2\) fondée sur les statistiques d’ordre — elle utilise les espacements entre quantiles empiriques.

Le dénominateur \(\sum_i (X_i - \bar X)^2 = (n-1)\hat\sigma^2\) est l’estimation classique de \(\sigma^2\).

Note

  • Sous \(H_0\) (gaussien) : les deux estimateurs coïncident (à une constante près), donc \(W \approx 1\)
  • Sous \(H_1\) (non-gaussien) : les deux divergent, et \(W\) s’éloigne de \(1\) vers \(0\)

Règle de décision : on rejette \(H_0\) quand \(W\) est trop petit.

Lien avec les QQ-plots

Si on trace les \(X_{(i)}\) contre les \(m_i = \mathbb E[Z_{(i)}]\) (espérances des statistiques d’ordre d’une \(\mathcal N(0,1)\)), on obtient le QQ-plot gaussien.

Le \(R^2\) de la régression linéaire de ce QQ-plot vaut \[ R^2 = \dfrac{\left(\sum_i m_i\,X_{(i)}\right)^2}{\sum_i m_i^2\,\cdot\,\sum_i (X_{(i)} - \overline X)^2} \]

C’est très proche de \(W\), mais pas tout à fait identique.

Variante : test de Shapiro-Francia

En remplaçant \(a_i\) par \(m_i/\sqrt{\sum_j m_j^2}\) dans la formule de \(W\), on obtient le test de Shapiro-Francia (1972) :

\[W' = \dfrac{\left(\sum_i m_i\,X_{(i)}\right)^2}{\sum_i m_i^2\,\cdot\,\sum_i (X_{(i)} - \overline X)^2}\]

C’est exactement le \(R^2\) de la régression linéaire du QQ-plot gaussien.

Note

  • Shapiro-Wilk (\(W\)) : utilise \(a \propto V^{-1}m\), légèrement plus puissant à petit \(n\)
  • Shapiro-Francia (\(W'\)) : utilise \(m\) directement, plus simple et asymptotiquement équivalent

Interprétation visuelle commune : plus les points du QQ-plot s’alignent sur une droite, plus la statistique est proche de \(1\). Rejeter \(H_0\) revient à dire que les points s’écartent trop d’une droite.

Exemple numérique

Avec R : shapiro.test(x) renvoie directement la statistique \(W\) et la p-valeur.

> shapiro.test(rnorm(30))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  rnorm(30)
W = 0.9753, p-value = 0.6912

\(p > 0{,}05\) : on ne rejette pas \(H_0\). Les données sont compatibles avec une loi gaussienne. Cohérent, on les a simulées ainsi !

Forces et limites

Avantages

  • Plus puissant que \(\chi^2\) ou KS pour tester spécifiquement la normalité
  • Particulièrement efficace à petit échantillon (\(n \leq 50\))
  • Facile à utiliser en pratique (une seule fonction dans R/Python)

Limites

  • Trop sensible en grand échantillon : pour \(n = 10\,000\), Shapiro rejette la normalité pour des écarts minuscules, sans importance pratique
  • Spécifique à la loi gaussienne — pas adapté aux autres familles de lois
  • Les coefficients \(a_i\) sont tabulés et moins transparents que la statistique \(\chi^2\)

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