Corrélation, Homogénéité et Dépendance
Plan
- Test de corrélation (Pearson)
- Test ANOVA
- Tests d’homogénéité et d’indépendance du \(\chi^2\)
- Test des rangs signés de Wilcoxon
Test de Corrélation
Cadre
On observe des données appariées i.i.d. \((X_1, Y_1), \dots, (X_n,Y_n)\) de moyennes inconnues \(\mu_X, \mu_Y\) et de matrice de covariance inconnue \(\Sigma\).
Soit \(X = X_1\), \(Y = Y_1\).
\(\mathrm{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])]\)
\(H_0: \mathrm{Cov}(X,Y) = 0\) contre \(H_1: \mathrm{Cov}(X,Y) \neq 0\)
Corrélation et Matrice de Covariance
\(\sigma_X^2 = \mathrm{Cov}(X,X)\)
\(\sigma_Y^2 = \mathrm{Cov}(Y,Y)\)
\(\hat \rho(X,Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)
[Wooclap]
Matrice de covariance :
\[ \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \mathrm{Cov}(X,Y) \\ \mathrm{Cov}(X,Y) & \sigma_Y^2 \end{pmatrix} \]
Quantités Théoriques VS Empiriques
On définit leurs versions empiriques :
\(\widehat{\mathrm{Cov}}(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)(Y_i - \overline Y)\)
\(\hat \sigma_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2\)
\[\hat \rho(X,Y) = \frac{\widehat{\mathrm{Cov}}(X,Y)}{\hat \sigma_X \hat \sigma_Y}\]
Quantités empiriques vs. théoriques
\(\hat \rho\), \(\hat \sigma_X\), \(\widehat{\mathrm{Cov}}\), … sont des quantités empiriques — elles sont calculées à partir des données. Leurs homologues \(\rho\), \(\sigma_X\), \(\mathrm{Cov}\), … sont des quantités théoriques (de population), généralement inconnues.
Propriétés de la Corrélation Empirique
À partir de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit que :
La corrélation \(\hat \rho\) est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\) :
Si \(\hat \rho = 1\) : pour tout \(i\), \(Y_i = aX_i + b\) pour un certain \(a > 0\)
Si \(\hat \rho = -1\) : pour tout \(i\), \(Y_i = aX_i + b\) pour un certain \(a < 0\)
Si \(\hat \rho = 0\) : aucune relation linéaire. notebook
Test de Corrélation de Pearson
Corrélation empirique :
\[\hat \rho = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)(Y_i - \overline Y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2\sum_{i=1}^n (Y_i - \overline Y)^2}}\]
Statistique de test :
\[\psi(X,Y) = \frac{\hat \rho}{\sqrt{1-\hat \rho^2}}\sqrt{n-2}\]
Sous \(H_0\), si les données sont gaussiennes : \(\psi(X,Y) \approx \mathcal{T}(n-2)\)
Validation par Monte Carlo (\(n=4\))
Exemple
Le temps d’étude est-il corrélé avec les notes aux examens ?
| Étudiant | Temps d’étude \(X_i\) (h) | Note \(Y_i\) (%) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 55 |
| 2 | 4 | 65 |
| 3 | 6 | 70 |
| 4 | 8 | 80 |
| 5 | 10 | 90 |
Formalisation
On note \(X_i\) le temps d’étude de l’étudiant \(i\) et \(Y_i\) sa note.
On suppose que \((X_1, \dots, X_n)\) i.i.d. \(\mathcal N(\mu_X, \sigma_X^2)\) et \((Y_1, \dots, Y_n)\) i.i.d. \(\mathcal N(\mu_Y, \sigma_Y^2)\) où \(\mu_X\), \(\mu_Y\), \(\sigma_X\), \(\sigma_Y\) sont inconnus.
On note \(\rho = Cov(X,Y)\), également inconnu. On veut tester :
\(H_0: \rho = 0\) contre \(H_1: \rho \neq 0\)
Ici \(\hat \rho =0{,}9948\) et \(\hat{\rho} = \frac{170}{\sqrt{40 \times 730}} \approx 0{,}9948, \qquad t = \frac{0{,}9948\sqrt{3}}{\sqrt{1-0{,}9948^2}} \approx 16{,}94\). Rejet (présence de corrélation)
Test ANOVA
Motivation
Précédemment : test de corrélation entre deux variables quantitatives \(Y\) et \(X\). Que faire si \(X\) représente des modalités ?
Par exemple : \(Y\) représente le salaire et \(X\) la région.
Question naturelle : les salaires sont-ils homogènes entre les régions ?
Cadre
On observe
\((X_1, \dots, X_n) \in \{1, \dots I\}^n\) (modalités) \((Y_1, \dots, Y_n) \in \mathbb R^n\) (variables quantitatives)
Hypothèse : \((Y_k,X_k)\) sont indépendants, de même variance, et si \(X_k=i\) :
\(Y_k \sim \mathcal N(\mu_k, \sigma^2)\)
On peut écrire :
\(\mu_i = \mathbb E[Y|X=i]=\frac{\mathbb E[Y\mathbf 1\{X=i\}]}{\mathbb P(X=i)}\) (inconnu)
Problème de Test
Les \(Y\) sont-ils homogènes par rapport aux modalités de \(X\) ?
\(H_0: \mu_1=\dots = \mu_I\) contre \(H_1: \mu_i \neq \mu_j\) pour certains \(i,j\)
Warning
Il s’agit d’un test sur les moyennes et non sur les variances. La variance est supposée constante pour toutes les modalités.
Formulation Équivalente
On observe
\(Y_k = \sum_{i=1}^I\mathbf{1}\{X_k = i\} \mu_i + \sigma \varepsilon_k\)
où les \(\varepsilon_k\) sont i.i.d. \(\mathcal N(0,1)\)
Représentation Graphique
On observe \(X=(X_1, \dots, X_n)\) et \(Y=(Y_1, \dots, Y_n)\), où
- \(X_k \in \{1, \dots, I\}\) (Qualitatif)
- \(Y_k \in \mathbb R\) (Quantitatif)
Boxplot : représente les percentiles \(0\), \(25\), \(75\) et \(100\).
Jeu de Données des Chanteurs (Julia StatsPlots)
\(X\) : Taille (en pouces), \(Y\) : Type de chanteur
Boxplot : (min, \(q_{1/4}\), \(q_{3/5}\), max) pour chaque modalité
Définitions
\(X=(X_1, \dots, X_n) \in \{1, \dots, I\}^n\), \(Y=(Y_1, \dots, Y_n) \in \mathbb R^n\)
Pour \(i \in \{1, \dots, I\}\), on définit les moyennes partielles :
\(N_i = \sum_{k=1}^n \mathbf 1\{X_k=i\}\) et \(\overline Y_i = \frac{1}{N_i}\sum_{k=1}^n Y_k \mathbf 1\{X_k=i\}\)
Moyenne totale :
\(\overline Y = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^n Y_k = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^I\sum N_i \overline Y_i\)
Décomposition de la Variance
\[\frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=1}^n(Y_k - \overline Y)^2}_{SCT} = \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{i=1}^IN_i(\overline Y_i - \overline Y)^2}_{SCB} + \frac{1}{n}\underbrace{\sum_{k=1}^n\mathbf 1\{X_k=i\}(Y_k - \overline Y_i)^2}_{SCW}\]
Rapport de corrélation :
\[ \hat \eta^2 = \frac{SCB}{SCT} \in [0,1]\]
C’est un estimateur de \(\eta = \frac{\mathbb V(\mathbb E[Y|X])}{\mathbb V(Y)}\) inconnu
Distribution sous \(H_0\)
Modèle : \(Y_k = \mu + \varepsilon_k\), \(\varepsilon_k \overset{iid}{\sim} \mathcal{N}(0, \sigma^2)\), c’est-à-dire \(\mu_1 = \cdots = \mu_I = \mu\) (inconnu).
Proposition
Sous \(H_0\), en supposant \(\varepsilon_k \overset{iid}{\sim} \mathcal{N}(0,\sigma^2)\) :
\[\frac{SCB}{\sigma^2} \sim \chi^2(I-1), \qquad \frac{SCW}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-I)\]
et \(SCB \perp SCW\). Par conséquent,
\[F = \frac{SCB/(I-1)}{SCW/(n-I)} \sim \mathcal{F}(I-1,\, n-I)\]
Les degrés de liberté ont une interprétation intuitive :
- \(I-1\) : \(I\) moyennes de groupe, moins 1 contrainte globale \(\overline Y\)
- \(n-I\) : \(n\) observations, moins \(I\) moyennes de groupe estimées
Test de Fisher : rejeter \(H_0\) au niveau \(\alpha\) lorsque
\[F > f_{1-\alpha}(I-1,\, n-I)\]
où \(f_{1-\alpha}(I-1, n-I)\) est le quantile \((1-\alpha)\) de \(\mathcal{F}(I-1, n-I)\).
Test ANOVA
Statistique de test
\[\psi(X,Y) = \frac{SCB/(I-1)}{SCW/(N-I)}\]
\(\psi(X,Y) \sim \mathcal F(I-1, N-I)\) sous \(H_0\)
Illustration
Exemple
Tests d’Homogénéité et d’Indépendance du \(\chi^2\)
Objectif Général
Précédemment : corrélation de Pearson entre variables quantitatives \(X_i\) et \(Y_i\)
Mais que faire si \(X_i\) et \(Y_i\) représentent deux modalités de l’individu \(i\) ?
Exemple : catégorie socioprofessionnelle et région, opinion politique et tranche d’âge, religion et pays…
De Nouveau les Multinomiales
Pensez aux modalités de \(Y\) comme des « sacs » et aux modalités de \(X\) comme des « couleurs ».
Il s’agit juste d’une représentation, on peut prendre \(X\) pour les sacs.
Ainsi, échantillonner une population revient à tirer des boules dans des sacs.
On obtient une loi multinomiale
Tableau de Contingence et Notations
On observe \(X=(X_1, \dots, X_n)\) i.i.d. et \(Y=(Y_1, \dots, Y_n)\) i.i.d., où
- \(X_k \in \{1, \dots, I\}\) (facteur à \(I\) catégories, « couleurs »)
- \(Y_k \in \{1, \dots, J\}\) (facteur à \(J\) catégories, « sacs »)
| Catégorie X/Y | Sac 1 | Sac 2 | Sac 3 | Totaux |
|---|---|---|---|---|
| Col 1 | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(n_{13}\) | \(R_1\) |
| Col 2 | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(n_{23}\) | \(R_2\) |
| Totaux | \(N_1\) | \(N_2\) | \(N_3\) | \(N\) |
\(n_{ij}\) : nombre d’individus ayant la catégorie \(i\) pour \(X\) et \(j\) pour \(Y\)
Exemple : Jeu de Données NO2trafic
Le jeu de données contient des mesures de qualité de l’air à différentes stations de surveillance du trafic. On étudie deux variables qualitatives :
- Type : type de route — P (périphérique), U (urbain), A (autoroute), T (tunnel), V (voie verte)
- Fluidité : niveau de fluidité du trafic — A (fluide), B (modéré), C (dense), D (congestionné)
Exemple : Jeu de Données NO2trafic
Tableau de contingence des variables « Type » et « Fluidité »
| Fluidité/Type | P | U | A | T | V |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 21 | 21 | 19 | 9 | 9 |
| B | 20 | 17 | 16 | 8 | 7 |
| C | 17 | 17 | 16 | 8 | 7 |
| D | 20 | 20 | 18 | 8 | 8 |
En R : table(X,Y)
Deux Questions Possibles, Une Même Statistique :
Les sacs sont-ils homogènes ?
Existe-t-il une dépendance entre \(X\) et \(Y\) ?
Test d’Homogénéité du \(\chi^2\)
\(d\) groupes différents (sacs), chacun contenant des boules de \(m\) couleurs possibles.
Si \(d = 3\) et \(m = 2\), on observe le tableau \(2\times 3\) d’effectifs suivant :
| sac 1 | sac 2 | sac 3 | Total | |
|---|---|---|---|---|
| couleur 1 | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(n_{13}\) | \(R_1\) |
| couleur 2 | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(n_{23}\) | \(R_2\) |
| Total | \(N_1\) | \(N_2\) | \(N_3\) | \(N\) |
Cadre et Statistique
Dans le sac \(j\) :
\((X_{1j}, X_{2j}, \dots, X_{mj}) \sim \mathrm{Mult}(N_j, (p_{1j}, p_{2j}, \dots, p_{mj}))\)
Les paramètres \(p_{ij}\) sont inconnus [Wooclap]
\(H_0\) : \(p_{i1} = p_{i2} = \dots = p_{id}\) pour toute couleur \(i\) (les sacs sont homogènes)
\(H_1\) : les sacs sont hétérogènes
Statistique de Test
Sous \(H_0\), on écrit \(p_i = p_{i1} = p_{i2} = \dots = p_{id}\).
On peut alors estimer
\(\hat{p}_{i} = \tfrac{1}{N}\sum_{j=1}^{d}X_{ij} = \dfrac{R_i}{N}\)
On définit la statistique de test comme :
\[\psi(X) = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^d \frac{(n_{ij}- N_j\hat{p}_{i})^2}{N_j\hat{p}_{i}} \;\asymp\; \chi^2\!\left((m-1)(d-1)\right)\]
Proposition
Proposition
Sous \(H_0\), lorsque \(N \to \infty\) avec \(N_j/N \to \lambda_j > 0\),
\[\psi(X) = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^d \frac{(n_{ij} - N_j\hat{p}_{i})^2}{N_j\hat{p}_{i}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \chi^2\!\left((m-1)(d-1)\right)\]
Degrés de Liberté — Intuition
Le tableau comporte \(m \times d\) cases, mais toutes ne sont pas libres une fois les marges fixées.
| \(j=1\) | \(j=2\) | \(\cdots\) | \(j=d\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(i=1\) | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(\cdots\) | ? | \(R_1\) |
| \(i=2\) | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(\cdots\) | ? | \(R_2\) |
| \(\vdots\) | ? | \(\vdots\) | |||
| \(i=m\) | ? | ? | \(\cdots\) | ? | \(R_m\) |
| \(C_1\) | \(C_2\) | \(\cdots\) | \(C_d\) | \(N\) |
Une fois le bloc supérieur gauche de \((m-1)(d-1)\) cases rempli, toutes les autres cases sont déterminées par les contraintes des marges.
Exemple : Préférences de Boissons Gazeuses
| Groupe d’âge | Jeunes adultes | Âge moyen | Seniors | Total |
|---|---|---|---|---|
| Coca | 60 | 40 | 30 | 130 |
| Pepsi | 50 | 55 | 25 | 130 |
| Sprite | 30 | 45 | 55 | 130 |
| Total | 140 | 140 | 110 | 390 |
Effectif théorique : \(N_1 \hat{p}_1 = 140 \times \dfrac{130}{390} \approx 46{,}7\)
Calcul de la Statistique du \(\chi^2\)
\[ \begin{aligned} \psi(X) &= \frac{(60-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(40-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(30-36{,}7)^2}{36{,}7} \\ &+ \frac{(50-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(55-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(25-36{,}7)^2}{36{,}7} \\ &+ \frac{(30-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(45-46{,}7)^2}{46{,}7} + \frac{(55-36{,}7)^2}{36{,}7} \\ &\approx 26{,}57 \end{aligned} \]
Test d’Indépendance du \(\chi^2\)
\(\newcommand{\VS}{\quad \mathrm{contre} \quad}\) \(\newcommand{\and}{\quad \mathrm{et} \quad}\)
On observe
\(X=(X_1, \dots, X_n) \in \{1, \dots, I\}^n\) et \(Y=(Y_1, \dots, Y_n) \in \{1, \dots, J\}^n\)
Hypothèses : \((X_k,Y_k)\) sont indépendants, chaque paire a une distribution inconnue \(P_{XY}\)
Problème de test de dépendance :
\[H_0: P_{XY}=P_{X}P_Y \VS H_1: P_{XY} \neq P_{X}P_{Y}\]
Définitions
Cases du tableau :
\[n_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf 1\{X_{k} = i\}\mathbf 1\{Y_k=j\}\]
Proportion totale des individus \(k\) de couleur \(X_k =i\) :
\(\hat p_{i}=\frac{R_i}{N}\) \(= \tfrac{1}{N}\sum_{j=1}^{J}n_{ij}\)
Test d’Indépendance du \(\chi^2\)
Statistique du chi-deux, ou distance du chi-deux :
\[\psi(X,Y) = \sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J \frac{(n_{ij}- N_j\hat p_{i})^2}{N_j\hat p_{i}}\]
- Approximation : \(\psi(X,Y) \sim \chi^2((I-1)(J-1))\) quand \(n \to \infty\)
- Test : \(T=\mathbf 1\{\psi(X,Y) \geq t_{1-\alpha/2}\}\), où
\(t_{0{,}975}\) =quantile(Chisq(I-1,J-1), 0.975)
Test d’Indépendance du \(\chi^2\)
Cadre
- Observations : variables catégorielles appariées \((X_1, Y_1), \dots, (X_n, Y_n)\)
- Ex. : \(X_i \in \{\mathrm{homme}, \mathrm{femme}\}\), \(Y_i \in \{\mathrm{café}, \mathrm{thé}\}\) [Wooclap]
- Idée : regrouper les données selon une variable pour former des sacs, puis appliquer le test d’homogénéité
Tableau de contingence :
| Sexe | Homme | Femme | Total |
|---|---|---|---|
| Café | 30 | 20 | 50 |
| Thé | 28 | 22 | 50 |
| Total | 58 | 42 | 100 |
Effectifs théoriques :
| Sexe | Homme | Femme | Total |
|---|---|---|---|
| Café | 29 | 21 | 50 |
| Thé | 29 | 21 | 50 |
| Total | 58 | 42 | 100 |
\(N_1 \hat{p}_1 = 58 \cdot 50/100 = 29\), degrés de liberté \(= (2-1)(2-1) = 1\)
Test des Rangs Signés de Wilcoxon
Variables Aléatoires Symétriques
Définitions
Une médiane de \(X\) est un quantile d’ordre \(0{,}5\) de sa distribution : si \(X\) a une densité \(p\), la médiane \(m\) vérifie \[\int_{-\infty}^m p(x)\,dx = \int_{m}^{+\infty} p(x)\,dx = 0{,}5\]
Une variable aléatoire \(X\) est symétrique si \(X \overset{d}{=} -X\). En particulier sa médiane est \(0\).
Si \(X\) est symétrique : \(X \overset{d}{=} \varepsilon |X|\) où \(\varepsilon \perp X\) est uniforme sur \(\{-1,1\}\).
Symétrisation
Lemme de Symétrisation
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables indépendantes de même densité \(p\), alors \(X - Y\) est symétrique.
Preuve : \[ \mathbb{P}(X - Y \leq t) = \int_{-\infty}^t \mathbb{P}(X \leq t+y)\,p(y)\,dy = \mathbb{P}(Y - X \leq t) \; . \]
Donc \(X \perp Y \Rightarrow X - Y\) symétrique \(\Rightarrow \mathrm{médiane}(X-Y) = 0\).
Problème de Dépendance pour Données Appariées
On observe des paires i.i.d. \((X_1, Y_1), \dots, (X_n, Y_n)\) de densité jointe inconnue \(p_{XY}(x,y)\).
\(H_0\) : \(\mathrm{médiane}(X_i - Y_i) = 0\) pour tout \(i\)
\(H_1\) : \(\mathrm{médiane}(X_i - Y_i) \neq 0\) pour un certain \(i\)
[Wooclap]
Quand \(H_0\) est-elle vérifiée ?
- Si \(X_i - Y_i\) est symétrique pour tout \(i\), on est sous \(H_0\).
- Si \(X_i \perp Y_i\) pour tout \(i\), on est sous \(H_0\).
Plus Formellement
\[X_i \perp Y_i \implies X_i - Y_i \text{ symétrique} \implies \text{méd}(X_i - Y_i) = 0\]
Test des Rangs Signés de Wilcoxon : Définitions
Soit \(D_i = X_i - Y_i\).
- Le signe de la paire \(i\) est le signe de \(D_i \in \{-1, +1\}\).
- Le rang \(R_i\) est la position de \(|D_i|\) dans l’ordre trié :
\[|D_{(1)}| \leq \dots \leq |D_{(n)}|\]
[Wooclap]
Propriétés sous \(H_0\)
Note
- Les signes \(\mathrm{sgn}(D_i)\) sont indépendants et uniformément distribués dans \(\{-1, +1\}\).
- En particulier, le nombre de signes positifs \(\sum \mathbf{1} \{D_i > 0\}\sim \mathcal{B}(n, 0{,}5)\).
- Les rangs \((R_1, \dots, R_n)\) forment une permutation aléatoire, indépendante de la densité inconnue.
Important
Toute fonction déterministe des rangs et des signes est une statistique de test pivot : sa distribution sous \(H_0\) ne dépend pas de la distribution inconnue des données.
Statistique du Test de Wilcoxon
\[W_- = \sum_{i=1}^n R_i\, \mathbf{1}\{D_i < 0\}\]
On utilise aussi : \(W_+ = \sum_{i=1}^n R_i\, \mathbf{1}\{D_i > 0\}\) ou \(\min(W_-, W_+)\).
Idée :
- Classer les \(|D_i|\) du plus petit au plus grand.
- Sous \(H_0\) : les signes \(\pm\) sont aléatoires \(\Rightarrow\) les grands et petits rangs se répartissent équitablement entre différences positives et négatives.
- \(W_-\) grand (resp. petit) \(\Rightarrow\) les différences négatives (resp. positives) dominent \(\Rightarrow\) preuve contre \(H_0\).
Approximation Gaussienne
Lorsque \(n \to +\infty\), sous \(H_0\),
\[W_- \;\asymp\; \frac{n(n+1)}{4} + \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}\;\mathcal{N}(0,1)\]
Si \(H_1\) : \(\mathrm{médiane}(D_i) < 0\) → test unilatéral droit sur \(W_-\)
Si \(H_1\) : \(\mathrm{médiane}(D_i) > 0\) → test unilatéral gauche sur \(W_-\).
Validation par Monte Carlo
L’approximation gaussienne s’ajuste bien à la distribution exacte :
Exemple : Effet d’un Médicament sur la Pression Artérielle
- \(H_0\) : le médicament n’a aucun effet. \(H_1\) : il abaisse la pression artérielle (test unilatéral gauche sur \(W_-\)).
| Patient | \(X_i\) (Avant) | \(Y_i\) (Après) | \(D_i = X_i - Y_i\) | \(R_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 150 | 140 | 10 | 6 (+) |
| 2 | 135 | 130 | 5 | 5 (+) |
| 3 | 160 | 162 | −2 | 2 (−) |
| 4 | 145 | 146 | −1 | 1 (−) |
| 5 | 154 | 150 | 4 | 4 (+) |
| 6 | 171 | 160 | 11 | 7 (+) |
| 7 | 141 | 138 | 3 | 3 (+) |
Application Numérique
\(W_- = 1 + 2 = 3\)
Par simulation, on approche \(\mathbb{P}(W_- = i)\) pour \(i \in \{0,1,2,3,4,5,6\}\) sous \(H_0\) :
[0.00784066, 0.00781442, 0.00781534, 0.01563892, 0.01562184, 0.02343478, ...]Par simulation :
\(p_{\text{valeur}} = \mathbb{P}(W_- \leq 3) \approx 0{,}039 < 0{,}05\)
On rejette \(H_0\) au niveau \(5\%\) : le médicament semble abaisser la pression artérielle.