La p-valeur comme plus petit niveau de rejet
Cadre
On considère un modèle paramétrique \((P_\theta)_{\theta \in \Theta}\) et une hypothèse nulle \(H_0: \theta \in \Theta_0\), où \(\Theta_0 \subseteq \Theta\) n’est pas nécessairement un singleton.
Une statistique de test \(\psi: \mathcal{X} \to \mathbb{R}\) est pivotale sous \(H_0\) si la loi de \(\psi(X)\) ne dépend pas de \(\theta \in \Theta_0\) : pour tous \(\theta, \theta' \in \Theta_0\) et tout ensemble mesurable \(A \subseteq \mathbb{R}\), \[ \mathbb{P}_{\theta}(\psi(X) \in A) = \mathbb{P}_{\theta'}(\psi(X) \in A). \]
Puisque \(\psi\) est pivotale, on peut écrire \(\mathbb{P}_{H_0}(\cdot)\) sans ambiguïté pour les probabilités faisant intervenir \(\psi(X)\) sous \(H_0\).
On considère un test qui rejette \(H_0\) pour les grandes valeurs de \(\psi\). Au niveau \(\alpha \in (0,1)\), la région de rejet est \[ \mathcal{R}_\alpha = \bigl\{ x \in \mathcal{X} : \psi(x) > c_\alpha \bigr\}, \] où \(c_\alpha\) est la valeur critique vérifiant \(\mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) > c_\alpha) = \alpha\).
On suppose que la loi de \(\psi(X)\) sous \(H_0\) est continue, de sorte que sa fonction de répartition \(F\) est continue et strictement croissante sur le support de \(\psi(X)\).
Étant donnée une observation \(x \in \mathcal{X}\), la p-valeur est définie par \[ p(x) = \mathbb{P}_{H_0}\bigl(\psi(X) \geq \psi(x)\bigr). \]
Propriété
La p-valeur est le plus petit niveau \(\alpha\) auquel on rejette \(H_0\) : \[ p(x) = \inf\bigl\{\alpha \in (0,1) : x \in \mathcal{R}_\alpha\bigr\}. \]
Démonstration
Soit \(F\) la fonction de répartition (continue, strictement croissante) de \(\psi(X)\) sous \(H_0\), et notons \(t = \psi(x)\) la valeur observée de la statistique de test.
Par définition, la valeur critique \(c_\alpha\) vérifie \[ \mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) > c_\alpha) = 1 - F(c_\alpha) = \alpha, \] d’où \(c_\alpha = F^{-1}(1 - \alpha)\). Puisque \(F\) est continue et strictement croissante, l’application \(\alpha \mapsto c_\alpha\) est continue et strictement décroissante.
La p-valeur vaut \[ p(x) = \mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) \geq t) = 1 - F(t), \] où l’égalité \(\mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) \geq t) = \mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) > t)\) résulte de la continuité de la loi.
Étape 1. Montrons que si \(\alpha > p(x)\), alors \(x \in \mathcal{R}_\alpha\), c’est-à-dire \(t > c_\alpha\).
Si \(\alpha > p(x) = 1 - F(t)\), alors \(F(t) > 1 - \alpha = F(c_\alpha)\). Puisque \(F\) est strictement croissante, on obtient \(t > c_\alpha\), d’où \(x \in \mathcal{R}_\alpha\).
Étape 2. Montrons que si \(\alpha \leq p(x)\), alors \(x \notin \mathcal{R}_\alpha\), c’est-à-dire \(t \leq c_\alpha\).
Si \(\alpha \leq p(x) = 1 - F(t)\), alors \(F(t) \leq 1 - \alpha = F(c_\alpha)\). Puisque \(F\) est strictement croissante, \(t \leq c_\alpha\), donc \(x \notin \mathcal{R}_\alpha\).
Conclusion. En combinant les deux étapes, \(x \in \mathcal{R}_\alpha\) si et seulement si \(\alpha > p(x)\). Par conséquent, \[ \inf\bigl\{\alpha \in (0,1) : x \in \mathcal{R}_\alpha\bigr\} = p(x). \] \(\blacksquare\)
Le caractère pivotal de \(\psi\) est essentiel : il garantit que la p-valeur \(p(x)\) et les valeurs critiques \(c_\alpha\) sont uniquement déterminées, indépendamment du paramètre inconnu \(\theta \in \Theta_0\). Sans pivotalité, la quantité \(\mathbb{P}_{H_0}(\psi(X) \geq \psi(x))\) dépendrait de \(\theta\) et ne pourrait pas servir de résumé unique de l’évidence contre \(H_0\).